Вероятностные методы в теории конформных отображений

Настоящий обзор посвящен применению вероятностных методов в задачах о граничном поведении конформных отображений. Работа состоит из трех частей. В главе I подробно обсуждается метод мартингальной аппроксимации функций Блоха, а также связь между функциями Блоха н конформными отображениями. В качестве непосредственного следствия выводится верхняя оценка, а для областей типа «снежинки» — и нижняя оценка в законе повторного логарифма для производной конформного отображения. Дается приложение этих результатов к вопросу о метрических свойствах гармонической меры. Ведущей темой первой части обзора является изучение связи между геометрическими свойствами границы и поведением квадратической характеристики соответствующего мартингала. В главе II исследуется случайное блуждание, порожденное мартингалом, отвечающим заданной функции Блоха. В рамках рассмотрения известной задачи о (не)выходе случайного блуждания за постоянную или переменную границу устанавливаются оценки граничного искажения при конформных отображениях, а также оценки размера исключительных множеств в задачах об угловой производной и конформности на границе. Глава III обзора посвящена изучению метрических свойств гармонической меры для областей с самоподобной границей. При помощи методов символической динамики для таких областей устанавливаются результаты более точные, чем полученные ранее методом мартингальной аппроксимации.