Обобщение теоремы Сабитова на случай многогранников произвольной размерности

Классическая формула Герона выражает площадь треугольника через длины его сторон. Если же мы возьмём многоугольник с большим числом сторон, то его площадь не может быть выражена через длины его сторон, так как он может изгибаться с сохранением длин сторон и с изменением площади.
Ситуация кардинально меняется в размерности 3. В 1996 году И. Х. Сабитов доказал, что объём любого симплициального многогранника в трёхмерном евклидовом пространстве является корнем многочлена со старшим коэффициентом 1, остальные коэффициенты которого суть многочлены от квадратов длин рёбер многогранника. Следовательно, объём симплициального многогранника с данными комбинаторным строением и длинами рёбер может принимать лишь конечное число значений. Основное приложение этого результата относится к так называемой гипотезе о кузнечных мехах, которая утверждает, что объём любого изгибаемого многогранника постоянен в процессе изгибания. (Изгибаемый многогранник — многогранник с жёсткими гранями и шарнирами в рёбрах, который может изгибаться с изменением двугранных углов. Примеры таких многогранников были построены Р. Брикаром, Р. Коннелли, К. Штеффеном и др.) Из теоремы Сабитова следует, что гипотеза о кузнечных мехах верна в размерности 3.
В течение долгого времени оставался открытым вопрос о том, верен ли аналог теоремы Сабитова в старших размерностях. В 2011 году докладчиком был доказан аналог теоремы Сабитова в размерности 4. Настоящий доклад посвящён недавнему результату докладчика, состоящему в том, что прямой аналог теоремы Сабитова верен для многогранников произвольной размерности $n>2$. Более того, то же утверждение верно не только для симплициальных многогранников, но и для всех многогранников с треугольными двумерными гранями.
Основным инструментом доказательства является теория нормирований или, в другой терминологии, теория точек (places) полей. В докладе будет рассказано, как теория нормирований полей возникает в задаче о выражении объёма многогранника через длины его рёбер и каким образом на этом пути получается аналог теоремы Сабитова в произвольной размерности.