Метод Громова в задачах дискретной геометрии

В 2010 году Михаил Громов опубликовал статью, в которой он разработал новый топологический подход (стягивание в пространстве циклов) к некоторым задачам дискретной геометрии. Типовая задача имеет следующий вид: в евклидовом пространстве размерности $d$ рассматриваются независимые случайные точки в количестве $d+1$, и хочется показать, что некоторая точка всегда покрывается выпуклой оболочкой этих случайных точек (симплексом) с вероятностью не менее $p_d>0$, зависящей только от размерности. Это утверждение было известно и ранее, но метод Громова увеличил известное значение $p_d$ до $1/(d+1)!$ с возможностью дальнейшего улучшения.
Автору удалось существенно упростить доказательство приведенного выше факта, а также доказать аналогичным методом утверждение о размере связных одноцветных компонент раскраски куба. Эти утверждения будут изложены с доказательствами.