Алгебраические векторные поля на плоскости. Семинар 1

Пусть на комплексной плоскости задано векторное поле $\xi$ — то есть в каждой точке $(z,w)$ задан вектор $(f(z,w), g(z,w))$; поле $\xi$ обычно записывают как
$$ \xi = f(z,w) \frac{\partial}{\partial z}+ g(z,w) \frac{\partial}{\partial w}. $$
Это поле называется полиномиальным, если функции $f$ и $g$ являются многочленами от $z,w$. Для векторных полей существует понятие интегральной кривой — это такая кривая, что векторное поле касается её во всех точках кривой.

Интегральные кривые даже у полиномиальных векторных полей могут быть очень сложными (и даже не задающимися никакой явной «элементарной» формулой). Однако иногда дело обстоит иначе: назовем полиномиальное векторное поле алгебраическим, если каждая его интегральная кривая является алгебраической, то есть множеством нулей какого-то многочлена. Например, векторное поле $(w,-z)$ будет алгебраическим: его интегральные кривые это «окружности» $z^2+w^2=const$. А векторное поле $(1,w)$ — нет: его интегральные кривые это (сдвинутые) графики экспоненты $w=const\cdot e^z$.

Предположим теперь, что у полиномиального векторного поля $\xi$ коэффициенты многочленов $f(z,w)$ и $g(z,w)$ являются целыми числами. Тогда для каждого простого числа $p$ мы можем рассмотреть многочлены $f(z,w)_p$ и $g(z,w)_p$ — приведение наших многочленов по модулю $p$. Приведение векторного поля $\xi$ по модулю $p$ — это векторное поле
$$ \xi_p= f(z,w)_p\frac{\partial}{\partial z}+g(z,w)_p\frac{\partial}{\partial w} $$
на плоскости над полем $\mathbb{F}_p$ вычетов по модулю $p$. Чтобы определить алгебраичность векторного поля $\xi_p$, надо сначала рассмотреть его как векторное поле на плоскости над полем $\overline{\mathbb{F}}_p$ (алгебраическим замыканием поля $\mathbb{F}_p$) и затем требовать, чтобы все его интегральные кривые были алгебраическими.

Легко доказать, что если полиномиальное векторное поле $\xi$ алгебраично и многочлены $f(z,w)$ и $g(z,w)$ есть многочлены с целыми коэффициентами, то векторные поля $\xi_p$ алгебраичны для всех $p$, кроме конечного числа. Ожидается, что верно и обратное утверждение. Это очень красивая нерешенная проблема. Мы посмотрим на нее с разных сторон и разберем примеры.

Пререквизиты. Необходимо уметь дифференцировать многочлены и знать про арифметику по модулю простого числа. Этим и хороша задача — чтобы «включиться» в нее достаточно только перечисленного.

Чтобы понять те (скромные) результаты, которые мы обсудим, нужно еще знать про расширения полей и немного линейной алгебры. На лекциях я, может быть, буду еще упоминать некоторые факты из комплексного анализа или алгебраической геометрии, но их понимать не обязательно, так как с огромным количеством примеров можно работать «вручную».