Локально евклидовы двумерные пространства, накрытия, дискретные группы, кристаллы и квазикристаллы. Семинар 1

Почему мы считаем наше пространство евклидовым (имеется в виду классическое пространство, не связанное ни с теорией относительности, ни с квантовыми явлениями)? Знания о геометрии физического мира основаны на наблюдениях, которые всегда проводятся внутри ограниченной области (например, шара, радиус которого не превосходит дальности действия самого мощного телескопа). С этой точки зрения естественно выяснить, существуют ли другие пространства, отличные от евклидова, но совпадающие с ним внутри любого шара фиксированного радиуса. Ответ на этот вопрос нетривиален уже в двумерном случае, причем способ его решения включает топологические и алгебраические конструкции (накрытия, равномерно-дискретные группы движений). С этой темой и ее вариациями близко связаны задачи классификации кристаллов, геометрия Лобачевского и структура модулярной группы.
Пререквизиты. Предварительных сведений, выходящих за рамки школьной программы, не требуется; в то же время, знакомство с первыми понятиями теории групп (нормальные подгруппы, фактор-группы) полезно.