Геометрические свойства квантовых вполне интегрируемых систем

Рассмотрим $k$-алгебру (где $k$ — поле характеристики 0) дифференциальных операторов от $n$ переменных
$$ D_n=k[[x_1,\ldots ,x_n]][\partial_1,\ldots ,\partial_n] $$
Как описать (классифицировать) все коммутативные $k$-подалгебры в $D_n$?
Это очень трудная задача, и в общем виде она не решена до сих пор. Наиболее полный ответ есть для $n=1$, и в этом случае он связан с обширной теорией точно решаемых нелинейных уравнений. В случае $n=2$ можно классифицировать подалгебры в пополненной алгебре дифференциальных операторов в терминах модифицированных геометрических данных Паршина или в терминах подпространств специального вида в двумерном локальном поле. Возникает вопрос: какие геометрические данные описывают коммутативные подалгебры в $D_2$? Можно ли построить явные примеры таких подалгебр хотя бы в случае ранга один (такие подалгебры являются алгебраически интегрируемыми квантовыми вполне интегрируемыми системами по определению, введенному Браверманом, Этингофом и Гайтсгори)? Какие геометрические данные описывают уже известные примеры?
В нашем докладе мы расскажем о последних достижениях в решении этих задач в случае $n=2$.
Доклад основан на результатах совместных работ с Х.Курке и И.Бурбаном.