Диофантовы приближения с числами Пизо

Доклад посвящен вопросам распределения по модулю 1 степеней чисел Пизо и некоторых рекуррентных последовательностей, связанных с числами Пизо. Задачи, касающиеся диофантовых свойств и равномерного распределения экспоненциальных последовательностей, возникали у Г.Вейля, А.Я.Хинчина, А.Туэ, Г.Харди, К.Л.Зигеля, Дж.В.С.Касселса, К.Малера, А.О.Гельфонда, Н.М.Коробова и других математиков. Как известно, для типичного вещественного числа $\alpha$ последовательность дробных долей $\{\alpha^n\}$ равномерно распределена. Но если $\alpha$ - это число Пизо, то это не так. Мы будем рассматривать величину
$$L(\alpha)=\sup_{\xi \in \mathbb R} \liminf_{n \to \infty} ||\xi \alpha^n||.$$
До недавнего времени все результаты о $L(\alpha)$ при $\alpha \notin \mathbb Z$ были лишь оценками. Первый точный результат был получен докладчиком для $\alpha=\frac{\sqrt 5 + 1}{2}$ . А именно было установлено, что в этом случае $L(\alpha)=\frac{1}{5}$.