Структурные теоремы в аддитивной комбинаторике

Аддитивная комбинаторика – это промежуточный между комбинаторикой и теорией чисел раздел математики, в котором изучают комбинаторные вопросы, связанные с групповой операцией.
В нашем докладе мы расскажем об одной важной особенности данной науки, которую, несколько расплывчато, можно сформулировать как принцип существования жесткой структуры при наличии какого-либо “критического” соотношения. Имеется ввиду следующая абстрактная постановка. Предположим, что у нас есть некоторое семейство объектов и действительный функционал на нем. Пусть также известно, что максимальное значение этого функционала равно $M$. Возьмем (не очень большой) параметр $K>1$ и зададим такой вопрос: что можно сказать об объектах нашего семейства со значением функционала большим, чем $M/K$? Есть ли у этих объектов какая-то структура? Наоборот, гарантирует ли наличие у объекта подобной структуры то, что значение нашего функционала на нем будет большим? Замечательно, что в широком классе аддитивно-комбинаторных задач ответ на данный вопрос оказывается положительным, и искомые “экстремальные” подобъекты чрезвычайно структурированы.
В докладе мы обсудим последние достижения в полиномиальной гипотезе Фреймана–Ружи, обратные теоремы для норм Гауэрса и структурные результаты о множествах с экстремальным соотношением между различными аддитивными энергиями.