Предельный переход к непрерывному времени для меры риска Tail V@R в моделях Леви

Когерентные меры риска, введенные Ф. Артцнером, Ф. Делбаеном, Ж.-М. Эбером и Д. Хисом в 1997 г., являются статическими мерами: они измеряют текущий риск терминального капитала. В ряде работ были предложены обобщения этих мер на динамические постановки как для дискретного, так и для непрерывного времени.
Базовым примером статической меры риска является мера Tail V@R$(\lambda)$ (также называемая Average V@R, Conditional V@R или Expected shortfall). Для дискретного времени эта мера имеет естественное обобщение, для непрерывного времени определения пока нет.
Мы рассматриваем результаты для Tail V@R, получаемые в модели Леви предельным переходом от дискретного времени к непрерывному.
Первый результат — измерение риска акции. Оказывается, что для получения нетривиальных значений необходимо изменять параметр $\lambda$ меры риска с изменением шага времени. При этом нормировка оказывается различной в зависимости от наличия скачков у процесса Леви.
Второй результат — нахождение цен Европейских опционов с помощью техники NGD (No Good Deals, «отсутствие хороших сделок»). Оказывается, что NGD-справедливая цена есть математическое ожидание от выплаты, взятое по мартингальной мере, относительно которой исходный процесс является процессом Леви с урезанной мерой скачков.