Модель с эластичным диффузионным коэффициентом. Анализ разорения

Мы изучаем вероятность поглощения в нуле диффузионного процесса с не липщицовским диффузионным коэффициентом:
$$ dX_t=\mu X_t\,dt+\sigma X^\gamma_t\,dB_t, $$
где $X_0=K\gg1$ и $1/2\le\gamma<1$. В финансовой математике эта модель известна как модель с эластичным диффузионным коэффициентом. Наш результат позволяет анализировать свойства момента разорения $\tau_{0}=\inf\{t:X_t=0\}$. Мы показываем, что $\mathsf P(\tau_{0}\le T)>0$ для всех $T$, а также устанавливаем логарифмическую асимтотику
\begin{gather*} \lim_{K\to\infty} \dfrac1{K^{2(1-\gamma)}}\log\mathsf P(\tau_{0}\le T)=-\begin{cases} \dfrac{\mu}{\sigma^2[1-e^{-2\mu(1-\gamma)T}]},& \mu\ne 0, \\ \dfrac1{2\sigma^2(1-\gamma)T},& \mu=0. \end{cases} \end{gather*}
Приводится также наиболее правдоподобная траектория поглощения при больших начальных условиях $K$. Этот результат устанавливается с помощью несложной модернизации больших уклонений Вентцеля–Фрейдлина.