Многомерная локальная теория полей классов

В докладе будет рассказана теория полей классов для $n$-мерного локального поля $K$ конечной характеристики. Основной результат – вложение со всюду плотным образом топологической $K_n$-группы Милнора поля $K$ в группу Галуа максимального абелевого расширения поля $K$. $K_n$-группа Милнора поля $K$ – это абелева группа, порожденная наборами из $n$ элементов поля $K$ и факторизованная по соотношениям полилинейности и Стейнберга. Топологическая $K_n$-группа Милнора поля $K$ – это фактор $K_n$-группы Милнора поля $K$ по пересечению всех окрестностей единицы в некоторой топологии $K_n$-группы Милнора поля $K$. Важно, что в топологической $K_n$-группе Милнора поля $K$ можно рассматривать бесконечные сходящиеся произведения. Будет описана структура этой группы: порождающие, явная фильтрация на группе. Локальная теория полей классов будет построена с помощью двойственностей Куммера, Витта, Артина–Шрейера. Эти же двойственности помогут в явном описании топологической $K_n$-группы Милнора поля $K$, дав нам нетривиальные символы на группе и явную фильтрацию. Этот доклад основан на работах А. Н. Паршина.