Морфизмы групп Кремоны и характеризация рациональных многообразий

Следуя статье Serge Cantat, мы классифицируем гомоморфизмы из $PGL_{r+1}(\mathbb C)$ в группу $Bir(M)$ бирациональных автоморфизмов комплексного проективного многообразия $M$ размерности не более $r$. Как следствие, мы покажем, что группы Кремоны $Cr(m)$ и $Cr(n)$ изоморфны тогда и только тогда, когда $n=m$, и что многообразие $M$ рационально тогда и только тогда, когда $PGL_{dim{M}+1}(\mathbb C)$ вкладывается в $Bir(M)$.