Симплектические многообразия с инвариантными лагранжевыми подмногообразиями

Структура симплектического вещественного многообразия в окрестности лагранжева подмногообразия контролируется теоремой Дарбу-Вайнштейна: симплектическое многообразие локально изоморфно кокасательному расслоению к лагранжевому подмногообразию (с канонической симплектической структурой). Этот факт сохраняет силу и в эквивариантной постановке вопроса: по наблюдению Костанта, изоморфизм Дарбу-Вайнштейна может быть выбран согласованно с гамильтоновыми структурами, если задано гамильтоново действие компактной группы Ли на симлектическом многообразии, сохраняющее данное лагранжево подмногообразие.
В комплексно-аналитическом и алгебро-геометрическом случае дело обстоит сложнее. К существованию изоморфизма Дарбу-Вайнштейна есть как аналитико-геометрические препятствия (несуществование трубчатых окрестностей у подмногообразий), так и теоретико-групповые препятствия (действие группы на исходном многообразии и на кокасательном расслоении к инвариантному лагранжеву подмногообразию может быть устроено по-разному). Аналогом компактных групп Ли здесь служат комплексные редуктивные (в частности, полупростые) алгебраические группы. Оказывается, несмотря на отсутствие аналога теоремы Дарбу-Вайнштейна-Костанта, симплектические алгебраические многообразия с гамильтоновым действием редуктивной группы, содержащие инвариантные лагранжевы подмногообразия, "похожи" на кокасательные расслоения. В частности, у них совпадают замыкания образов отображения моментов.
В доказательстве этого результата два основных ингредиента: деформация многообразия в нормальное расслоение к лагранжеву подмногообразию (которое канонически изоморфно кокасательному расслоению) и довольно тонкие результаты о локальной структуре действия некоторых параболических подгрупп редуктивной группы, которые позволяют контролировать образ отображения моментов. Имеется обобщение полученных результатов на случай коизотропных подмногообразий с некоторыми ограничениями, ослабив которые, удалось бы получить короткое концептуальное доказательство гипотезы Элашвили об индексах централизаторов элементов полупростой алгебры Ли.