Чудесная компактификация Де Кончини–Прочези и подалгебры сдвига аргумента

Подалгебры сдвига аргумента (известные также как подалгебры Мищенко–Фоменко) представляют собой семейство максимальных коммутативных подалгебр в алгебре Пуассона полиномиальных функций на коприсоединённом представлении полупростой алгебры Ли $\mathfrak g$. Это семейство параметризовано дополнением корневых гиперплоскостей в проективизации картановской подалгебры алгебры Ли $\mathfrak g$. Можно рассматривать семейство подалгебр как алгебраическое подмногообразие в некотором (достаточно большом) грассманиане — в таком случае замыкание этого подмногообразия в грассманиане даёт нетривиальную компактификацию дополнения набора корневых гиперплоскостей. Я объясню, что эта компактификация совпадает с известной «чудесной» компактификацией Де Кончини–Прочези. Таким образом, чудесная компактификация Де Кончини–Прочези параметризует некоторое семейство коммутативных подалгебр в алгебре Пуассона. Теоретико-множественная версия этого утверждения была получена ранее Э. Б. Винбергом и В. В. Шуваловым. Далее, оказывается, что это семейство можно поднять (как семейство коммутативных подалгебр) в универсальную обёртывающую алгебру $U(\mathfrak g)$. Спектр коммутативных подалгебр данного семейства в неприводимом представлении алгебры Ли $\mathfrak g$ задаёт (вообще говоря, разветвлённое) накрытие компактификации Де Кончини–Прочези. Я покажу, что для алгебр Ли типа $\mathsf A_n$ данное накрытие неразветвлено над вещественной частью компактификации Де Кончини–Прочези, и сформулирую гипотезы, описывающие это накрытие в терминах комбинаторики кристальных базисов.