Многочлены Лорана и зеркальная симметрия

Зеркальная симметрия предсказывает двойственность двух разных геометрий — алгебраической и симплектической — для пар совершенно разных многообразий. Изучение этой двойственности с математической точки зрения стало одним из самых модных направлений в математике в последние пару десятилетий. В докладе будет обсуждаться один из подходов к описанию такой двойственности, который, жертвуя общностью и абстрактностью, позволяет, в ряде случаев, сформулировать и эффективно проверить зеркальное соответствие. Этот подход предсказывает, в частности, ответы на некоторые вопросы классической алгебраической геометрии, такие как вычисление инвариантов многообразий Фано, их рациональности, бирациональных перестроек, и вообще, часто позволяет дать новый взгляд на классические вопросы. Одним из основных признаков такой двойственности является совпадение ромба Ходжа многообразия Калаби–Яу и повернутого на 90 градусов ромба Ходжа двойственного Калаби–Яу. Двойственным объектом для многообразия Фано является так называемая модель Ландау–Гинзбурга. Для них недавно была обнаружена двойственность чисел Ходжа, сходная с двойственностью для многообразий Калаби–Яу. Мы обсудим вычисление чисел Ходжа через зеркальную симметрию на некоторых примерах, таких как трехмерные многообразия Фано или полные пересечения. Если останется время, мы обсудим на примерах зеркальный подход к программе минимальных моделей.