Интегральные формулы для объемов в пространствах постоянной кривизны

Известная в евклидовом пространстве формула для вычисления объема тела через некоторый интеграл по его граничной поверхности обобщается на случай сферических и гиперболических пространств произвольной размерности. Для случая многогранников эта формула позволяет вывести формулу объема симплекса через координаты его вершин, и, как следствие, получить новое простое аналитическое доказательство знаменитой формулы Шлефли для дифференциала объема многогранника. Все доказательства сводятся к использованию формулы Стокса в несколько этапов.