Интегрируемые геодезические потоки на двумерном торе

На двумерном торе существуют два вида метрик c интегрируемыми геодезическими потоками, при этом первые интегралы являются полиномами первой или второй степени по импульсам. Существование интегрируемых метрик с полиномиальными по импульсам интегралами степени больше чем два - открытая проблема. В докладе эта проблема будет обсуждаться с точки зрения полугамильтоновых систем квазилинейных уравнений. В частности будет показано, что интегрируемые метрики с полиномиальными интегралами четвертой степени отвечают критичеким точкам некоторого специального функционала, уравнение Эйлера-Лагранжа которого имеет формальные периодические решения в виде степенных рядов по малому параметру. Результаты получены совместно с М.Бялым.