О динамике лагранжевых траекторий в решениях уравнений Гамильтона–Якоби с выпуклым гамильтонианом

Уравнение Гамильтона–Якоби или Бюргерса возникает как простейшая гидродинамическая модель в нескольких разделах физики: в частности, в космологии как модель формирования т.н. “крупномасштабной структуры”. Одним из физически осмысленных вопросов является построение полей обобщенных характеристик, глобально определенных во времени для негладких (вязкостных) решений.
При этом возникает интересная и естественная конструкция, приводящая к появлению обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, определяемой как поточечное преобразование Лежандра градиента решения уравнения. Поскольку глобально определенные решения уравнения Гамильтона-Якоби, вообще говоря, являются негладкими, а их градиенты терпят разрыв вдоль кусочно-гладкого многообразия особенностей («многообразие ударных волн»), интегральные кривые этого уравнения не могут быть продолжены в классическом смысле после того, как они достигают многообразия особенностей. Продолжение в смысле дифференциальных включений возможно, но определено не единственным образом.
В работе [Khanin, Sobolevski 2010] (см. также [Bogaevsky 2006], [Cannarsa, Yu 2009], [Khanin, Sobolevski 2012] и [Strömberg 2013]) для уравнения с произвольным выпуклым гамильтонианом предложена каноническая конструкция разрывного поля скоростей (т.н. «допустимых скоростей»), которое является однозначно определенным не только в точках гладкости решения, но и на многообразии особенностей. Поле допустимых скоростей интегрируемо: существует поток липшицевых траекторий, всюду касающихся этого поля в смысле односторонней производной по времени «вперед». Построение этого потока осуществляется методом исчезающей вязкости.
В докладе будет изложена конструкция поля допустимых скоростей и потока его интегральных траекторий и обсуждены имеющиеся результаты и открытые вопросы.