Лежандровы узлы, монотонное упрощение и гипотеза Джонса

Я расскажу нашу недавнюю работу с Максимом Прасоловым, где мы неожиданно для себя доказали так называемую гипотезу Джонса, которая гласит, что алгебраическое число пересечений косы, представляющей данное зацепление, является инвариантом последнего при условии, что число нитей косы минимально возможное. Началась эта работа с того, что мы нашли критерий, когда данная прямоугольная диаграмма зацепления допускает понижение сложности (дестабилизацию) после некоторого числа сохраняющих сложность элементарных преобразований (рокировок). Оказалось, что отвечают за это свойство два лежандровых зацепления, которые естественным образом ассоциируются с любой прямоугольной диаграммой.