$p$-адические и ультраметрические всплески и спектральный анализ

Базисы всплесков (wavelets) вызывают интерес как в чистой, так и в прикладной математике. Хотя конструкция базиса всплесков не может быть перенесена напрямую на пространства функций $p$-адического аргумента, такое обобщение недавно удалось провести. $p$-адические всплески являются собственными векторами оператора Владимирова $p$-адического дробного дифференцирования и, таким образом, анализ всплесков связан со спектральной теорией $p$-адических псевдодифференциальных операторов. Более того, естественное отображение $p$-адических чисел в вещественные переводит $p$-адические всплески в всплески Хаара на вещественной прямой. Таким образом, уже вещественные всплески могут рассматриваться как собственные векторы оператора Владимирова.
Эти результаты обобщаются на случай произвольных ультраметрических пространств. При этом строится обобщение конструкции Брюа–Титса, вводятся псевдодифференциальные операторы и всплески на произвольных ультраметрических пространствах и устанавливается связь ультраметрических всплесков, спектральной теории ультраметрических псевдодифференциальных операторов и анализа на графах.
Будет рассказано также о приложениях ультраметрических псевдодифференциальных операторов в теории неупорядоченных систем. В частности, дана $p$-адическая параметризация и обобщение матриц Паризи, применяющихся в методе реплик теории спиновых стекол, и описано приближение межбассейновой кинетики в моделях случайного блуждания на сложных ландшафтах.