Обзор диссертации У. Каримова "К решению обобщенной проблемы Александрова-Лефшеца-Бегля"

В диссертации рассматриваются вопросы связанные с одной стороны с соотношением между глобальной (гомотопического характера) (не)тривиальностью пространств (в основном компактов – стягиваемостью, клеточноподобностью и др.) и алгебраическими локальными и глобальными инвариантами. С другой стороны выясняется, насколько аппроксимирующие полиэдры (нервы мелких покрытий) можно сделать близкими к компакту. Автор считает основными свои результаты, относящиеся ко второму кругу задач, где он решает старые проблемы, в частности, построение двумерного клеточноподобного компакта, все мелкие покрытия которого кратности 3 цикличны. Получен ряд других достаточно интересных примеров и теорем. Например, компактный ANR имеет мелкие покрытия с нервом гомотопически ему эквивалентным. Два компакта с тонкими (в некотором смысле) базами гомеоморфны тогда и только тогда, когда нервы этих баз изоморфны. В первом направлении доказывается, например, существование нестягиваемого когомологически локально связного клеточно подобного компакта, надстройка над которым стягиваема.
В докладе будет дан поверхностный рассказ о результатах диссертации, так как результатов много, а решение о докладе было принято в экстренном порядке.