Микролокальный подход к люстиговским симметриям

Люстиг (и независимо Сойбельман) построил действие группы кос на пространстве любого конечномерного представления квантовой группы $U_q$ (с разделёнными степенями). Согласно гипотезе ДеКончини (доказанной Толедано–Ларедо для формального $q$), это действие является монодромией связности Казимира. Представления квантовой группы можно реализовать в исчезающих циклах так называемых факторизуемых пучков на пространстве конфигураций аффинной прямой. При этом группа кос действует монодромией в исчезающих циклах. Точнее, на категории факторизуемых извращённых пучков возникает так называемая коксетерова структура. Уточнённая гипотеза ДеКончини утверждает эквивалентность коксетеровых категорий представлений квантовой группы и факторизуемых пучков. Хотя доказать её для произвольного $q$ так и не удаётся, я расскажу о наших с Вадиком Шехтманом попытках в этом направлении.