Проблема Варинга в простых числах и случайные подстановки с простыми длинами циклов

Рассматривается множество решений уравнения $p_1^k+\dots+p_s^k=N$, где $k$, $s$, $N$ — натуральные, $p_1$, $\dots$, $p_k$ — простые числа.
Найдена асимптотика числа решений $t_{s,k}(N)$, когда $k=\mathrm{const}$, а $s$, $N$ стремятся к бесконечности так, что $s=o(ln^3N)$. Для решения, случайно равновероятно выбираемого из множества всех $t_{s,k}(N)$ решений, найдены предельные распределения случайной величины $\mu_p$, равной числу компонент вектора $(p_1,\dots,p_s)$, равных $p$. Аналогичные результаты получены для множества решений неравенства $p_1^k+\dots+p_s^k \leqslant N$.
Найдена асимптотика числа подстановок степени $n$, у которых длины всех циклов — простые числа. Показано, что число $\nu_n$ циклов в случайной равновероятной подстановке из этого класса асимптотически нормально с параметрами $(\ln\ln n, \ln\ln n)$, а распределение числа циклов простой длины $p=\mathrm{const}$ сходится к распределению Пуассона с параметром $1/p$, когда $n$ стремится к бесконечности.