Монотонность функции мощности инвариантных критериев в многомерном гауссовском анализе

Для проверки гипотез в многомерном гауссовском анализе используют критерии, тестовые статистики которых инвариантны к аффинным преобразованиям элементов выборки и являются монотонными по каждому аргументу функциями от собственных значений одной из случайных матриц:
$$W_p(n, I_p, \Delta), \\ W_p(n, I_p, \Delta)(W_p(n, I_p, \Delta)+W_p(m, I_p))^{-1},$$
где $W_p(n, I_p, \Delta)$ – матрица Уишарта с $n$ степенями свободы, ковариационной матрицей $I_p$ и параметром нецентральности $\Delta$.
Начиная с 1960-х, существовало общее утверждение, что функции мощности у таких статистических критериев возрастают по мере "удаления" от проверяемых гипотез: вероятность отвергнуть гипотезу тем больше, чем сильнее нарушена гипотеза. Данной проблеме посвящены работы Т.В. Андерсона, И. Олкина, М.Д. Перлмана, Д.С.П. Ричардса и ряда других ученых.
В 1980 году в своей совместной работе И. Олкин и М.Д. Перлман сформулировали проблему следующим образом:
Гипотеза (И. Олкин, М.Д. Перлман). Пусть функция $\phi(l_1, ..., l_p)$ не убывает по каждому из аргументов, где $l_i=l_i(\Delta)$ – $i$-е по величине собственное значение матрицы Уишарта $W_p(n, I_p, \Delta)$. Тогда мощность теста с критической областью $(\phi(l_1, ..., l_p)\geq{const})$ не убывает при росте собственных значений $\lambda_1, ..., \lambda_p$ параметра нечентральности $\Delta$.
И. Олкин и М.Д. Перлман показали, что инвариантные критерии являются несмещенными, а также доказали верность сформулированной гипотезы в случае, когда $rank(\Delta)=1$. В последующих работах верность гипотезы была установлена для некоторых дополнительных частных случаев, однако доказательства общего случая до сих пор найдено не было.
В докладе будет рассказана история данной проблемы, а также представлены последние результаты автора по решению проблемы Олкина-Перелмана.