Тела Ньютона–Окунькова, полугруппы целых точек и градуированные алгебры (по статье К. Каве и А. Г. Хованского)

Теорема Кушниренко позволяет вычислить количество решений системы уравнений $P_1=\ldots=P_n=0$ в $(\mathbb{C}^*)^n$, где $P_i$ — полиномы Лорана общего вида с фиксированным многогранником Ньютона, и даёт ответ в терминах его объёма. Тела Ньютона–Окунькова возникают как естественные обобщения многогранников Ньютона, если в данной задаче вместо $(\mathbb{C}^*)^n$ рассматривать неприводимое $n$-мерное алгебраическое многообразие, а вместо конечномерного подпространства, порождённого мономами Лорана, — произвольное ненулевое конечномерное подпространство в пространстве рациональных функций на $X$.
В докладе будет рассказано об асимптотических свойствах полугрупп целых точек и градуированных алгебр. Будет показано, что полугруппа целых точек в некотором смысле достаточно близка к полугруппе всех точек подрешётки, лежащих в некотором выпуклом конусе. Мы определим тело Ньютона–Окунькова полугруппы и покажем, как оно определяет асимптотическое поведение её функции Гильберта. Далее, с помощью выбора полного $\mathbb{Z}^n$-нормирования мы сможем применить полученные результаты для нахождения асимптотик роста функций Гильберта достаточно широкого класса градуированных $k$-подалгебр алгебры многочленов $F[t]$, гдe $F$ — расширение основного поля $k$ степени трансцендентности $n$.