О вычислении комбинаторных классов Понтрягина

В 1957 году совместно В. А. Рохлиным и А. С. Шварцем, а затем в 1958, независимо от них, Р. Томом была установлена комбинаторная инвариантность рациональных классов Понтрягина, однако прямых способов их вычисления предъявлено не было. С тех пор задача построения комбинаторых формул, т. е. явного выражения для цикла, Пуанкаре-двойственного заданному классу Понтрягина, остаётся открытой. Тем не менее в задаче достигнуты следующие существенные результаты.
1) В 1975 году А. М. Габриэловым, И. М. Гельфандом и М. В. Лосиком была построена комбинаторная формула для первого класса Понтрягина гладкого многообразия, затем распространённая Р. Макферсоном на случай т. н. многообразий Брауэра.
2) Доказанная в 1978 году Н. Левиттом и К. Рурком теорема существования локальной комбинаторной формулы для всех рациональных классов Понтрягина (без предъявления явных формул). 3) В 1983 Дж. Чигером получена локальная формула для всех многочленов Хирцебруха от вещественных классов Понтрягина, сводящаяся к вычислению спектра оператора Лапласа на псевдомногообразиях с локально плоской метрикой.
4) В 1992 году И. М. Гельфандом и Р. Макферсоном получена формула, позволяющая вычислять все рациональные нормальные классы Понтрягина триангулированного многообразия, снабжённого фиксирующим циклом (дискретным аналогом гладкой структуры).
5) В 2004 году А. А. Гайфуллин построил локальную комбинаторную формулу для первого рационального класса Понтрягина, применимую ко всем комбинаторным многообразиям без каких-либо дополнительных условий. В докладе планируется сделать краткий обзор указанных результатов по статье А. А. Гайфуллина "Вычисление характеристических классов многообразия по его триангуляции" (http://mi.mathnet.ru/umn1444).