Расстояние до ближайшего общего предка в критических разложимых ветвящихся процессах

Рассматривается разложимый ветвящийся процесс Гальтона–Ватсона с $N$ типами частиц, занумерованных числами от $1$ до $N$. Предполагается, что частицы типа $i$ могут производить потомков лишь типов $i$, $i+1,\dots,N$, причем для частицы любого типа $i$ математическое ожидание числа потомков своего типа равно единице, а вероятность произвести хотя бы одну частицу типа $i+1$ положительна. Показано, что если популяция не выродилась к моменту $n$, то интервал времени $[0,n]$ можно разбить на $2N$ чередующихся непересекающихся подынтервалов $L_1,\dots,L_{2N}$, длины которых не сравнимы по порядку, так, что ближайший общий предок всех частиц, существующих в процессе в момент $n$, стремящийся к бесконечности, может находиться с асимптотически положительной вероятностью лишь в интервалах $L_{2},L_{4},\dots,L_{2N}$, причем в случае, когда ближайший общий предок находится в интервале $L_{2i}$, он может иметь либо тип $i$, либо тип $i+1$.