Полиэдральный подход в теории разбиений чисел: результаты и новые проблемы

В.А. Шлык "" When Wed, November 6, 18:30 – 20:00 Description Теория разбиений натуральных чисел ­­на натуральные слагаемые – классическое направление в теории чисел и комбинаторике. В ее создании участвовали Эйлер, Лежандр, Коши, Гаусс, Юнг, Макмагон, Харди, Рамануджан, Радемахер, Эрдёш. Поток статей, посвященных разбиениям чисел, не ослабевает и сейчас. Разбиения чисел находят применения в различных областях математики,в статистической механике и современной физике. В докладе излагаются результатыполиэдрального подхода к исследованию разбиений чисел. Благодаря представлению множества разбиений числа n в виде ограниченного многогранника в n-мерном пространстве, обнаруженыего комбинаторно-геометрическая структура, новые классы разбиений и отношения между ними. Основными элементами любого многогранника являются его вершины и грани максимальной размерности. Грани многогранника разбиений полностью охарактеризованы, но описание его вершин остается открытой проблемой. Особый интерес к ней объясняется тем, что вершины многогранника образуют базис множества разбиений соответствующего числа, поскольку остальные разбиения являются их выпуклыми комбинациями. Более того, оказалось, что этот базис можно уменьшить, так как все вершины можно получить из подмножества опорных вершин с помощью простых комбинаторных операций. Другие результаты о строении многогранникаразбиений говорят осмежности вершин, о связях между вершинами и содержащими их гранями, а также о связи вершин с известными структурами аддитивной комбинаторики. Специальное внимание уделяется новым задачам, порожденным полиэдральным взглядом на множества разбиения чисел. Одна из главных проблем – описание зависимости числа вершин многогранника от разбиваемого числа. Результаты вычислений вершин и опорных вершин для многогранниковразбиениймалых чисел говорят о том, что их число существенно меньше числа всех разбиений – примерно 59 и 7 тысяч, соответственно, против 190 миллионов для n = 100. Однако число вершин растет не монотонно с ростом n: похоже, что онозависит от теоретико-числовых свойствn. Знаменитую асимптотическую формулу для числа разбиенийnХарди и Рамануджан доказали спустя 20 лет после того, как Макмагонвычислил эти числа для всех n ≤ 200. Возможность применения компьютера позволяет надеяться, что для числа вершин это удастся сделать скорее. Основное содержание доклада будет понятно студентам, изучающим дискретную математику и склонным к комбинаторному мышлению.