Коммутаторы в $L^2$-пространствах

Доклад будет посвящён вопросу о восстановлении оператора $X$ по его коммутатору $K=XN-NX$ с заданным нормальным оператором $N$ в гильбертовом пространстве. Если $N$ — оператор умножения на $z$ в $L^2(\mu)$, где $\mu$ — борелевская мера на комплексной плоскости, то, как известно, любые два оператора с заданным коммутатором отличаются друг от друга на оператор умножения на ограниченную функцию. Пусть $K$ — интегральный оператор в $L^2(\mu)$. Естественно искать некоторое решение $X$ операторного уравнения $XN-NX=K$ в виде преобразования Коши, формула которого определяется естественным образом по ядру интегрального оператора; однако требуется раскрытие смысла, в котором следует понимать полученное преобразование. В докладе будет установлена возможность такой трактовки; это приводит и к ряду новых естественных вопросов.