Двадцать три новые грани функции Борчердса $\Phi_12$

Алгебрa Ли “Fake Monster” является одним из самых известных примеров Лоренцовых (т.е. автоморфных гиперболических) алгебр Каца–Муди, открытых Борчердсом двадцать лет назад. Эта алгебра определена автоморфной формой $\Phi_12$ на ортогональной группе О(2, 26). В докладе будет даны формулы произведений для функции Борчердса в 23 одномерных каспах (“гранях”), отвечающих 23 унимодулярным решеткам Нимейера. Новые формулы дают интересные приложения в арифметике, алгебраической геометрии и теории алгебр Ли.
Во-первых, мы даем ответ на старый вопрос И. Френкеля (1983) о соотношениях между производящими функциями аффинных и гиперболических алгебр Каца-Муди. Во-вторых, некоторые грани порождают параболические новые собственные функции операторов Гекке на различных ортогональных группах О(2, n) c 2<n<19. Например бинарный код Голея G24 дает четыре собственные формы, одна из которых это классическая зигелева форма Игузы веса 35. Тернарный код Голея G12 дает три собственные формы и т.д. Все эти модулярные формы являются многомерными аналогами формы Рамануджaна веса 12, которые дают, в частности, информацию о геометрическом типе различных пространств модулей решетчато поляризованных К3 поверхностей, поверхностей Энриквеса с дополнительными структурами и поляризованных неприводимых симплектических многообразий.