Тауберовы теоремы для обобщенных функций многих переменных. Асимптотически однородные обобщенные функции

Доклад посвящен исследованиям по многомерной тауберовой теории для обобщенных функций многих переменных, проводимых в отделе математической физики. Эта проблематика была инициирована фундаментальной работой Н. Н. Боголюбова, В. С. Владимирова и А. Н. Тавхелидзе, посвященной теоретическому обоснованию автомодельного поведения при высоких энергиях величин квантовой теории поля. Работа по этой тематике активно развернулась после работы В. С. Владимирова, в которой известная тауберова теорема Харди–Литтлвуда была распространена на многомерный случай. В. С. Владимиров и Б. И. Завьялов перенесли результаты об автомодельном поведении формфакторов в квантовой теории поля на причинные функции и придали этим результатам характер тауберовых теорем. Ю. Н. Дрожжиновым и Б. И. Завьяловым доказан ряд многомерных абелевых и тауберовых теорем, в частности общая тауберова теорема, позволившая обобщить известные классические теоремы на многомерный случай. При этом оказалось, что понятие квазиасимптотики наиболее адекватно приспособлено к исследованиям в тауберовой теории для обобщенных функций. Эти результаты нашли многочисленные применения в различных областях математики при изучении асимптотического поведения при больших значениях времени решений задачи Коши и смешанных задач для параболических и гиперболических уравнений, фундаментальных решений пассивных систем, многомерных спектральных асимптотик эллиптических операторов. Часть этих результатов изложена в монографии В. С. Владимирова, Ю. Н. Дрожжинова и Б. И. Завьялова “Многомерные тауберовы теоремы для обобщенных функций”. Основное внимание в докладе будет уделено результатам, полученным в последнее время, по асимптотически однородным обобщенным функциям. Так называются обобщенные функции, обладающие квазиасимптотикой на бесконечности в асимптотической шкале правильно меняющихся функций. В терминах сферического представления будет дано их полное описание и полученные результаты применены для изучения особенностей голоморфных функций в трубчатых областях над конусами.