Аддитивная задача с простыми числами в обобщенной схеме размещения

Получены асимптотические формулы для числа решений уравнения
$$ p_1+\dots+p_s = N \qquad\qquad\qquad\qquad(*) $$
в простых числах $p_1,\dots,p_s$, когда $s$, $N$ стремятся к бесконечности. Доказательства основаны на методе перевала в сочетании с асимптотическим законом распределения простых чисел. Аналогичные вопросы рассматриваются и для числа решений неравенства $p_1+\dots+p_s\le N$. В предположении, что решение уравнения $(*)$ выбирается случайно равновероятно, для числа $\mu_p$ компонент вектора $(p_1,\dots, p_s)$, равных простому числу $p$, с использованием теории обобщенных схем размещения получены предельные теоремы, дающие достаточные условия сходимости распределений случайных величин $\mu_p$ к пуассоновскому и нормальному законам.