Комментарий к теореме Иосевича–Роше-Ньютона–Руднева

В докладе будет рассказано о некоторых приложениях одной теоремы Иосевича–Роше-Ньютона–Руднева к задачам о суммах произведений. Мы положительно отвечаем на вопрос А. Балога: для произвольного конечного множества действительных чисел $A$ выполнено $|AA+A| \gg |A|^{3/2+\varepsilon_0}$, $\varepsilon_0 >0$ — абсолютная константа. Кроме того, доказано, что если $|AA| \ll |A|$, то $|A+A| \gg |A|^{2-\varepsilon}$, $\varepsilon>0$ — произвольное. Это подтверждает гипотезу Эрдеша–Семереди о суммах произведений в новом экстремальном случае. Также мы получаем ряд других новых результатов.