Эффективное доказательство теоремы Андре о точках комплексного умножения на кривых

Назовем точкой комплексного умножения (в дальнейшем CM-точкой) на аффинной плоскости $C^2$ точку вида $(j(a),j(b))$, где $a$ и $b$ — мнимые квадратичные иррациональности и $j$ обозначает модулярный инвариант. В 1998 году Ив Андре доказал, что неприводимая плоская кривая $f(x,y)=0$ может содержать только конечное число CM-точек, кроме случаев, когда кривая является горизонтальной или вертикальной прямой, или модулярной кривой. Это был первый доказанный случай известной гипотезы Андре–Оорта о специальных точках на многообразиях Шимуры. В дальнейшем было найдено несколько других доказательств теоремы Андре; отметим особенно замечательное доказательство Пилы, которое легко распространяется на многомерный случай. Но, до недавнего времени, все известные доказательства теоремы Андре были неэффективны, т.е. не позволяли, в принципе, определить все CM-точки на кривой. Это было вызвано использованием неравенства Зигеля-Брауэра о числе классов мнимого квадратичного поля, которое, как известно, неэффективно. Недавно в работах Ларса Кюне и др. было предложено два новых подхода к теореме Андре, дающих эффективные доказательства. Один подход использует метод Бейкера и позволяет полностью избежать неравенства Зигеля–Браура. В другом подходе неравенство Зигеля–Брауэра заменяется «полуэффективной» теоремой Зигеля–Татудзавы. В моем докладе я расскажу об этих новых подходах к теореме Андре.