Объем многогранника как многозначная функция длин его ребер

Классическая формула Герона выражает площадь треугольника через длины его сторон. Для многоугольников с более чем тремя сторонами вычисление площади по длинам сторон принципиально невозможно, так как любой такой многоугольник можно непрерывно деформировать так, что длины сторон будут постоянны, а площадь будет непрерывно меняться. Ситуация кардинальным образом меняется в размерности 3. В 1996 году И. Х. Сабитов доказал, что объем любого многогранника с треугольными гранями в трехмерном евклидовом пространстве выражается как многозначная функция длин его ребер, а именно, является корнем многочлена со старшим коэффициентом 1, остальные коэффициенты которого суть многочлены от квадратов длин ребер многогранника. Замечательным приложением этой теоремы служит утверждение о том, что объем любого изгибаемого многогранника постоянен в процессе изгибания. (Изгибаемый многогранник — многогранник с жесткими гранями и шарнирами в ребрах, который может изгибаться с изменением двугранных углов.)
В течение долгого времени оставался открытым вопрос о том, верен ли аналог теоремы Сабитова в старших размерностях. В 2012 году докладчиком был доказан аналог теоремы Сабитова для многогранников произвольной размерности, большей 3. Доказательство стало возможным благодаря взаимодействию двух основных инструментов: алгебраического — теории нормирований полей — и топологического — теории вдавливания симплициальных комплексов. В докладе будет рассказано, почему нормирования полей и вдавливания симплициальных комплексов возникают в такого рода задачах.