Методы продолжения по параметру для систем полиномиальных уравнений в оптимизационной задаче анализа областей притяжения

В работах советских математиков Д. Н. Бернштейна, А. Г. Кушниренко и А. Г. Хованского изучалось число решений общей системы полиномиальных уравнений. Доказанные ими теоремы являются основой новых эффективных численных методов поиска всех решений таких уравнений, развивающихся за рубежом с середины 90х гг. прошлого века. Эти методы основаны на идее гомотопии — непрерывной деформации решений некоей исходной системы уравнений, для которой они могут быть получены тривиальным образом, в решения заданной системы. Вводится параметр, связывающий исходную и заданную системы, который изменяется небольшими приращениями. При изменении параметра новые решения, расположенные в малой окрестности предыдущих, пересчитываются методом Ньютона.
В докладе рассматривается использование таких методов в задаче оценки области притяжения полиномиальной динамической системы с помощью полиномиальных функций Ляпунова. Задача формулируется в оптимизационных терминах и определяется система полиномиальных уравнений, решения которой включают все локальные минимумы. В дальнейшем их перебор позволяет найти глобальный минимум и, следовательно, искомую оценку области притяжения.