(Ко)гомологии Маклейна 2-го рода и простые числа Вифериха

Целое число $a$ можно воспринимать как отображение из $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ в аффинную прямую над $\mathbb{F}_1$. Соответственно, критические точки этого отображения — это такие простые $p$, что $p^2$ делит $a-a^p$ (если при этом $p$ не делит $a$, то $p$ называют простым числом Вифериха по базе $a$). Так как $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ рассматривается как риманова поверхность бесконечного рода над $\mathbb{F}_1$, естественно предположить, что любое целое $a$ имеет бесконечно много критических точек. Этот вопрос открыт для всех $a$, кроме $0$ и $\pm 1$.
По аналогии с функциональным случаем, естественно ожидать, что критические точки целого $a$ восстанавливаются по (ко)гомологиям Хохшильда 2-го рода $\mathbb{F}_1$-алгебры $\mathbb{Z}$ с кривизной $a$. Мы покажем, что это действительно так для «стабильной» версии (ко)гомологий Хохшильда над $\mathbb{F}_1$ — т.н. когомологий Маклейна (в случае гомологий они отождествляются с топологическими Хохшильдовскими). В частности, эти когомологии имеют $p$-кручение в точности для критических $p$. Однако, вклад такого простого $p$ не зависит от кратности критической точки (т.е. минимального $l$, такого, что $p^{l+1}$ делит $a^{p^l}-a$).
По определению, (ко)гомологии Маклейна кольца $A$ тесно связаны со стабильными гомологиями пространств Эйленберга Маклейна $K(A,n)$. Логично предположить, что настоящие (ко)гомологии Хохшильда над $\mathbb{F}_1$ должны быть связаны со всеми (не только стабильными) гомологиями пространств $K(A,n)$. Также, по ним должны восстанавливаться кратности критических точек.
Все результаты обобщаются на кольца целых в числовых полях (при этом единственное существенное отличие имеет место в простых идеалах, содержащих дифференту).