Об асимптотическом поведении сингулярных решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений высокого порядка

Для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения высокого порядка исследуется асимптотическое поведение решений с вертикальной асимптотой («blow-up»-решений). Для уравнений третьего и четвертого порядков доказано, что все решения с вертикальной асимптотой имеют степенную асимптотику (подтверждена гипотеза И. Т. Кигурадзе, доказанная им ранее для уравнения 2-го порядка). Доказано, что при $n=12,13,14$ эта гипотеза неверна, так как уравнения имеют положительные «blow-up»-решения нестепенного вида. Будут также приведены другие результаты о качественных свойствах решений уравнения, содержащиеся в недавно вышедшей монографии:
И. В. Асташова. Качественные свойства решений квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений // Качественные свойства решений дифференциальных уравнений и смежные вопросы спектрального анализа. C. 22–288, 2012, М.: ЮНИТИ-ДАНА, 637 с.
Подобные уравнения при $n=2$ возникают в газовой динамике и астрофизике, а уравнения более высокого порядка — например, при описании поперечников Колмогорова.