Квантовые инварианты и почти распознавание свободных узлов

Целью настоящего доклада является демонстрация следующего принципа: если диаграмма объекта достаточно сложна, то она присутствует в виде поддиаграммы внутри любой эквивалентной ей диаграммы.
Квантовый sl(3)-инвариант (скобка Куперберга) представляет собой инвариант классических узлов, который строится следующим образом: сначала диаграмма узла представляется в виде линейной комбинации графов, а затем с помощью упрощающих соотношений графы упрощаются, и на них вычисляются значения — полиномы Лорана от одной переменной.
Аналогично строятся два других инварианта, соответствующие алгебрам Ли ранга 2.
В виртуальном (не эллиптическом) случае не всякий граф допускает такое упрощение. Это позволяет строить более сильные инварианты, исходя из того, что инвариантом сложного (неупрощаемого) графа является сам граф. Свободные узлы и зацепления — комбинаторное упрощение виртуальных узлов, основанное на понятии гауссовой диаграммы. В итоге получается серия новых инвариантов виртуальных узлов, свободных узлов, а также гомотопических классов погружений графов валентности три в двумерные поверхности.
Отличительной чертой таких инвариантов является то, что их значениями являются графы, что позволяет сводить различные вопросы о свойствах объектов к свойствам их конкретных представителей. В частности, если диаграмма виртуального узла (погружение графа в поверхность) довольно сложна, то она «присутствует в виде образца» в любой изотопной (гомотопной) ей диаграмме.
В результате мы получим полную классификацию широкого класса свободных зацеплений в явных терминах.
Будет предложен ряд задач исследовательского характера.