О сферическом ансамбле случайных матриц

В настоящем докладе представлены результаты автора, полученные совместно с Ф. Гетце.
Пусть $\mathbf X$ и $\mathbf Y$ независимые случайные матрицы размерности $n\times n$. Рассмотрим матрицу $\mathbf W=\mathbf X\mathbf Y^{-1}$. Известно, что, если элементы матриц $\mathbf X$ и $\mathbf Y$ – независимые стандартные комплексные гауссовские величины, предельное распределение для эмпирической меры, построенной на собственных числах матрицы $\mathbf W$, - равномерное распределение на сфере (после стереографической проекции комплексной плоскости). Мы покажем, что это распределение сохраняется и для матриц $\mathbf X$ и $\mathbf Y$, симметричные элементы которых могут быть коррелированы и рапределения элементов могут быть произвольными. При этом условия на моменты накладываются минимальные. Будет рассмотрено также предельное распределение сингулярных и собственных чисел произведения матриц вида $\mathbf W$.