Минимальность плоскостей в нормированных пространствах

Рассмотрим в конечномерном нормированном пространстве $X$ двумерный диск, лежащий в некоторой плоскости. Кажется очевидным, что такой диск должен быть “минимальной пленкой” в $X$, то есть иметь минимальную площадь среди всех компактных поверхностей с тем же краем. (Площадь поверхности в нормированном пространстве определяем как двумерную меру Хаусдорфа.) Однако эта минимальность — нетривиальный вопрос, остававшийся открытым более 50 лет, а для размерностей, больших, чем 2, ответ неизвестен до сих пор. В докладе будет рассказано о решении этой задачи, некоторых приложениях, а также о неожиданных связях с краевыми обратными задачами. Результаты получены совместно с Д.Бураго.