Факторы поверхностей Дель Пеццо

Над алгебраически замкнутым полем всякая унирациональная поверхность является рациональной. Для алгебраически незамкнутых полей это неверно. Например, всякая минимальная поверхность Дель Пеццо степени 2, 3, 4 является унирациональной, но не рациональной. Одним из примеров унирациональных поверхностей являются факторы рациональных поверхностей. Мы докажем следующую серию утверждений:
1) Если $X$ — поверхность Дель Пеццо, $X(\Bbbk) \neq \varnothing$, $K_X^2 \geq 5$, $G \subset \mathrm{Aut}(X)$, то $X / G$ — $\Bbbk$-рациональна.
2) Если $X$ — поверхность Дель Пеццо, $X(\Bbbk) \neq \varnothing$, $K_X^2 = 4$, $G \subset \mathrm{Aut}(X)$, $G \neq \{1\}$, то $X / G$ — $\Bbbk$-рациональна.
3) Если $X$ — поверхность Дель Пеццо, $X(\Bbbk) \neq \varnothing$, $K_X^2 = 3$, $G \subset \mathrm{Aut}(X)$, $G \neq \{1\}$, $C_3$, то $X / G$ — $\Bbbk$-рациональна.
4) Если $X$ — поверхность Дель Пеццо, $X(\Bbbk)$ — всюду плотно, $K_X^2 =2$, $G \subset \mathrm{Aut}(X)$, $G \neq \{1\}$, $C_2$, $C_2^2$, $C_4$, $D_4$, $Q_8$, то $X / G$ — $\Bbbk$-рациональна.
5) Если $X$ — поверхность Дель Пеццо, $X(\Bbbk)$ — всюду плотно, $K_X^2 =1$, $G \subset \mathrm{Aut}(X)$, $G \neq \{1\}$, $C_2$, $C_3$, $C_6$, $S_3$, то $X / G$ — $\Bbbk$-рациональна.