Проекции орбитальных мер, многогранники Гельфанда-Цетлина и сплайны

Рассмотрим пространство $H(N)$ эрмитовых матриц размера $N \times N$. На нём действует сопряжениями группа $U(N)$, и на каждой орбите живёт единственная инвариантная мера единичной массы — орбитальная мера. Спроектируем пространство $H(N)$ на прямую, сопоставив каждой эрмитовой матрице вещественное число — её $(1,1)$-матричный коэффициент. Для орбиты общего положения образ орбитальной меры при такой проекции имеет непрерывную кусочно-полиномиальную плотность (сплайн), которую можно явно вычислить. Этот факт был отмечен Андреем Окуньковым в 1996 г. Я расскажу, что происходит в более общей ситуации, когда проекция состоит в вырезании левого верхнего уголка размера $K \times K$, где $K = 1, 2, \ldots, N-1$. Эту задачу можно также переформулировать на языке многогранников Гельфанда–Цетлина.
Получающийся результат вполне элементарен, но его пафос в том, что в задаче, происходящей из теории представлений, возникают сплайны — объекты классического и численного анализа.