Раскраски целочисленных решеток и рациональных пространств

Хроматическим числом пространства с запрещенным расстоянием $d$ называется минимальное количество $N$ цветов, достаточное для раскраски всех точек пространства в $N$ цветов так, чтобы любые две точки на расстоянии $d$ имели разные цвета. Исследование хроматических чисел вещественных (и рациональных) пространств проводится достаточно давно, при этом в вещественном случае точный ответ не известен даже в случае двумерной плоскости, а при стремлении размерности к бесконечности хроматическое число растет экспоненциально, хотя зазор между известными нижней и верхней асимптотическими оценками довольно велик. В рациональном случае оценки также экспоненциальны, хотя в малых размерностях числа раскрасок (при определенном запрещенном расстоянии) можно вычислить явно. Случай целочисленных решеток изучен мало. Автору удалось доказать, что, в отличие от вещественного и рационального случая хроматическое число n-мерной целочисленной решетки с запрещенным расстоянием $\sqrt{2d}$, $d$ — простое (случай корня из нечетного числа с очевидностью допускает раскраску в 2 цвета) растет как $n^{d}$ с точностью до постоянной, от $n$ не зависящей. Вычислены некоторые примеры хроматических чисел в малых размерностях, хотя в целочисленном случае хроматические числа очень сильно зависят от арифметических свойств запрещенных расстояний.
Предложен подход к изучению хроматических чисел для пространств и решеток над различными подкольцами и пополями вещественных и рациональных чисел. Также будет рассказано о некоторых случаях хроматических чисел для РАЗРЕШЕННЫХ расстояний, где рассматриваются раскраски, для которых любые две точки одного цвета находятся на некотором расстоянии из заданного списка (скажем, $\sqrt{a b}$, где $a$ — фиксированное натуральных число, $b$ пробегает множество всех натуральных чисел). Предлагается множество нерешенных задач с простыми формулировками.