Минимальность плоскостей в нормированном пространстве

Рассмотрим в конечномерном нормированном пространстве $X$ двумерный диск, лежащий в некоторой плоскости. Кажется очевидным, что такой диск должен быть «минимальной пленкой» в $X$, то есть иметь минимальную площадь среди всех ограниченных поверхностей с тем же краем. (Площадь поверхности в нормированном пространстве можно определить, например, как двумерную меру Хаусдорфа.) Однако эта минимальность — нетривиальный вопрос, остававшийся открытым более 50 лет, а для больших размерностей ответ неизвестен до сих пор. В докладе будет рассказано о решении этой задачи, некоторых приложениях, а также о неожиданных связях с краевыми обратными задачами. Результаты получены докладчиком совместно с Д. Бураго.