Бильярды в многоугольниках, плоские поверхности, и динамика в пространствах модулей

Многие задачи связанные с бильярдами в многоугольниках и слоениями на поверхностях допускают интерпретацию в терминах плоской метрики на поверхности с изолированными коническими особенностями. Такие метрики в свою очередь задают естественную комплексную структуру и голоморфную 1-форму на поверхности. Я попробую рассказать о том, как сложные свойства простых динамических систем, упомянутых выше, описываются в терминах простых свойств сложной динамической системы: тейхмюллерова геодезического потока на пространстве модулей кривых. В частности, я расскажу, как вычислять "среднюю монодромию" расслоения Ходжа вдоль тейхмюллерова потока — недавний совместный результат с Максимом Концевичем и Сашей Эскиным.