Бильярды, оптимизация сопротивления шероховатых тел и задача Монжа–Канторовича

Мы рассматриваем всевозможные шероховатые тела, которые могут быть получены из некоторого фиксированного выпуклого тела рифлением, то есть, неформально выражаясь, нанесением на поверхность тела микроскопических неровностей произвольной формы: ямок, бороздок и т.п. Дается математическое определение шероховатого тела и закона бильярдного рассеяния на таком теле. Мы доказываем теорему о характеризации законов рассеяния на шероховатых телах и с ее помощью сводим задачу о наименьшем и наибольшем сопротивлении медленно вращающихся шероховатых тел к частным задачам Монжа–Канторовича, которые затем решаются. Мы показываем, что сопротивление произвольного выпуклого $n$-мерного тела при помощи рифления может быть увеличено самое большее в $(n+1)/2$ раз или уменьшено самое большее на $p(n)$ процентов, где $p(2)=1.22$, $p(3)=3.05$, и $p(n)$ стремится к 20.9, когда $n$ стремится к бесконечности.