Глубина алгебр Стенли–Райснера

Каждому симплициальному комлпексу $K$ можно сопоставить градуированную коммутативную алгебру $k[K]$ над полем $k$, являющуюся факторалгеброй многочленов по идеалу, порождённому мономами без квадратов. Алгебры $k[K]$, называемые алгебрами Стенли–Райснера, являются мощным инструментом исследования комбинаторики симплициальных комплексов. Оказывается следствие из теоремы Райснера, что если $K$ — симплициальная сфера, то алгебра $k[K]$ является алгеброй Коэна–Маколея. Этот факт позволил Стенли доказать гипотезу о верхней границе для симплициальных сфер. Я планирую рассказать об этом более подробно, а также привести более общее описание глубины алгебры $k[K]$ в терминах топологии симплициального комплекса $K$. В качестве следствия будет получена теорема Манкрса, согласно которой алгебры Стенли–Райснера гомеоморфных симплициальных комплексов имеют одинаковую глубину.