Не существует плоского бильярда с открытым множеством четырёхугольных замкнутых орбит

Пусть $N(\lambda)$ — количество собственных значений для задачи Дирихле в области $\Omega$ пространства $\mathbb R^n$, не превосходящих $\lambda^2$. В 1911 году Г. Вейль нашёл первый член асимптотического разложения $N(\lambda$. В 1980 году В. Иврии доказал, что
$$ N(\lambda)=c_1\operatorname{mes}(\Omega)\lambda^n+c_2\operatorname{mes}'(\partial\Omega)\lambda^{n-1}+o(\lambda^{n-1}), $$
если только в соответствующем области $\Omega$ бильярде периодические орбиты имеют меру нуль. В. Иврии предположил, что это геометрическое условие выполнено для всех областей евклидова пространства с достаточно гладкой границей. В 1989 М. Рыхлик доказал, что в плоском бильярде треугольные орбиты имеют меру нуль. Алексей Глуцюк и докладчик доказали аналогичное утверждение для четырёхугольных орбит.
Доказательство основано на изучении свойств границы воображаемого открытого семейства замкнутых четырёхугольных орбит. Мы подходим к точкам границы вдоль однопараметрических семейств четырёхугольных траекторий, в которых одна из вершин фиксирована. Оказывается, что если зафиксировать вершину в точке общего положения, то в предельном четырёхугольнике один из углов должен быть развёрнутым, после чего эта ситуация также приводится к противоречию.