Проблема Нётер для центральных расширений симметрических и альтернированных групп

Рассмотрим регулярное действие конечной группы $G$ на множестве переменных $\{ X_g\}$. Вначале для альтернированной группы $A_n$ мы докажем, что для нечетного $n$ $\mathbb{Q}(A_n)$ рационально над $\mathbb{Q}(A_{n-1})$. Далее мы получим аналогичный результат для произвольного центрального расширения $A_n$ или $S_n$ над $\mathbb{Q}(\xi_N)$ для подходящего $N$. Конкретные приложения полученного результата: новое доказательство рациональности $\mathbb{Q}(X_1, X_2, X_3, X_4, X_5)^{A_5}/ \mathbb{Q}$, утвердительный ответ для проблемы Нётер над $\mathbb{Q}$ в случае $\tilde A_5$ и $\tilde S_5$, утвердительный ответ для проблемы Нётер над $\mathbb{C}$ для любого центрального расширения $A_n$ или $S_n$ при $n \le 5$.